turunan parsial fungsi implisit

Makalah kalkulus lanjut — Document Transcript

• 1. BAB I PENDAHULUANA. Latar Belakang Kalkulus Lanjut (Advanced Calculuc) merupakan mata kuliah lanjutan dariKalkulus I yang telah dipelajari pada semester sebelumnya. Proses perkuliahan dikampus sangatlah minim, karena waktu yang tidak cukup dan banyak mahasiswa yangmalas masuk kuliah. Sehingga mahasiswa sangat di tuntut untuk memilikiketerampilan di dalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengandemikian mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun aktif mencaribahan materi yang akan di pelajari. Makalah ini merupakan salah satu syarat di dalam mengikuti atau melakukandiskusi dalam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhadap bahan kuliah bisa lebihmenjadi maksimal. Insya Allah...B. Rumusan Masalah Bagaimanakah cara menyelesaikan turunan parsial fungsi secara implisit ?C. Tujuan Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit;D. Manfaat Dapat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dua variabel atau lebih; 1
• 2. BAB II PEMBAHASAN Turunan Parsial Fungsi Implisit Penurunan Secara Implisit Penurunan secara implisit secara tidak langsung telah di bahas dalamkalkulus. Salah satu manfaat dari aturan rantai adalah untuk menentukan turunanfungsi yang didefinisikan secara implisit. Misalkan y fungsi dari x yang didefinisikansecara implisit, dan diberikan oleh persamaan, F(x,y) = 0. Karena y fungsi dari,maka dengan aturan rantai dihasilkan, + = 0Karena, dx⁄dx = 1, maka dihasilkan rumus : = -Dengan cara yang sama, misalkan x fungsi dari y yang didefinisikan secara implisit,dan diberikan oleh persamaan F(x,y) = 0, maka dihasilkan rumus : = -Contoh 1 Bila y fungsi dari x yang didefinisikan oleh, 3xy2 + 3y3 = x3, hitunglahdy⁄(dx.)Penyelesaian : Andaikan, F(x,y) = 3xy2 + 3y3 - x3 , dengan menurunkan F secara parsialterhadap x dan y dihasilkan : = 3y2 – 3x2 = 3(y2 – x2) = 3(y + x)(y – x) = 6xy + 6y2 = 6y(x + y) Jadi, =- =- = 2
• 3. Contoh 2 Bila x fungsi dari y yang didefinisikan oleh, arc tan (x⁄y) = ln (x2 + y2),hitunglah dx⁄dy.Penyelesaian : Andaikan, F(x,y) = arc tan (x⁄y) - ln (x2 + y2), dengan menurunkan F secaraparsial terhadap x dan y dihasilkan : = – = –Jadi, Dari rumus penurunan secara implisit di atas, dapat dikembangkan untukmenentukan turunan-turunan parsial fungsi n variabel. Misalakan z adalah fungsidari x dan y yang didefinisikan secara implisit, diberikan oleh persamaan F (x, y, z) =0. Dengan menurunkan secara parsial F terhadap x dengan asumsi y konstan denganaturan rantai dihasilkan : + + =0Karena y konstan, maka ∂y/∂x = 0, dan mengingat dx/dx = 1, sehingga dihasilkanrumus, Dengan cara yang sama, dan jika di asumsikan y konstan dengan menurunkansecara parsial F terhadap y dengan asumsi x konstan, dengan aturan rantaidihasilkan: + + =0 3
• 4. Karena x konstan, maka ∂x/∂y = 0, dan mengingat dy/dy = 1, sehingga dihasilkanrumus,Contoh 3Tentukanlah, dan dari, x2 y + y3 z = 2xz4Penyelesaian :Andaikan, F (x, y, z) = x2 y + y3 z - 2xz4 . dengan menurunkan secara parsial F terhadap x,y dan zdihasilkan: = 2xy – 2z4 = x2 + 3y2z = y3 – 8xz3Jadi, – – =- = – – – =- = . –Adapun turunan fungsi untuk dua variabel atau lebih, yaitu :1. Turunan fungsi implisit dua variabel Hasil ini digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. Andaikan F(x,y)=0, dimana y fungsi implisit dari x, sehingga bisa dicari atau F   x dy dx F y asalkan 4
• 5. Contoh: Diketahui x3 + y2 x- 3= 0 tentukan ..! Jawab: x3 + y2 x- 3)= 3x2 + 2xy + y2 = 0 2xy = - 3x2 - y2 (- 3x2 - y2) / 2xy - (3x2+ y2)/2xy2. Turunan fungsi implisit tiga variabel Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y differensiabel sedemikian hingga z=f(x,y), untuk setiap x,y dalam domain fungsi, maka z F ( x, y , z ) z Fy ( x, y, z )  x  x Fz ( x, y, z ) y Fz ( x, y, z ) Contoh: Tentukan dari fungsi implisit xy – z2 + 2xyz = 0 Jawab: a. (xy – z2 + 2xyz) = c. (xy – z2 + 2xyz) = = 2xy – 2z y+ 2yz b. (xy – z2 + 2xyz) = = x + 2xz Jadi 5
• 6. Contoh: Misalkan f(x,y,z) = x3 ey+z – ysin (x-z)=0 maka tentukan Jawab: (x3 ey+z – ysin (x-z))= = 3x2 ey+z – ycos (x-z) (x3 ey+z – ysin (x-z))= = x3 ey+z + ycos (x-z) Jadi (3x2 ey+z – ycos (x-z))/ x3 ey+z + ycos (x-z)3. Turunan fungsi implisit empat variabel Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z diferensiabel sedemikian hingga w=f(x,y,z), untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi, maka w F ( x, y, z, w)  x x Fw ( x, y, z, w) w Fy ( x, y, z, w)  y Fw ( x, y, z, w) w F ( x, y, z, w)  z z Fw ( x, y, z, w) Contoh: Tentukan dari fungsi implisit 2x2w + 3y2z + zwyx + w2 = 0 Jawab: (2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= = (2x2w + 3y2z + zwyx + w2) = 6
• 7. (2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= = 3y2 + wyx (2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= = 2x2 + zyx +2wJadi: = / 2x2 + zyx +2w = / 2x2 + zyx +2w = - ( 3y2 + wyx)/2x2 + zyx +2wPendiferensialan ImplisitJika kita dihadapkan dengan fungsiy3 + 5y = x3.Tentu kita akan sulit untuk menggambarkan grafiknya. Tetapi ketika kita inginmencari gradien/kemiringan garis singgungdi suatu titik pada kurva, kita akankebingungan. Masalahnya, kita harus mencari turunan dari fungsi tersebut.Hal baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaanyang secara gamblang (eksplisit) tidak terselesaikan untuk y. Apakah mungkinuntuk mencari dy/dx dalam keadaan seperti ini?Ya, diferensialkan kedua ruas persamaany3 + 5y = 3terhadap x, dan samakan hasil-hasilnya. Dalam melakukan ini, kita anggapbahwa persamaan yang diberikan memang menentukan y sebagai suatu fungsix (hanya saja kita tidak tahu bagaimana mencarinya secara eksplisit). Jadi,setelah memakai aturan rantai pada suku pertama, kita peroleh : 7
• 8. Yang terakhir dapat diselesaikan untuk dy/dx sebagai berikut :Perhatikan bahwa ungkapan kita untuk suatu kenyataanyang sering menyusahkan. Tetapi, jika kita hanya ingin mencari kemiringanpada sebuah titik di mana koordinatnya diketahui tidaklah sulit. Di (1,2) = .Jadi, kemiringannya adalah 3/17.Metode yang baru saja digambarkan untuk mencari tanpa terlebihdahulu menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk secara gamblangdalam bentuk disebut Pendiferensialan Implisit. Tetapi apakah metodetersebut dapat memberikan jawaban yang benar?Contoh.Carilah jika –3!Penyelesaian :Cara 1 : Kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan secara gamblanguntuk sebagai berikut.Jadi,Cara 2 : (Pendiferensialan Implisit).Kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari : –3 8
• 9. Setelah memakai Aturan Hasilkali pada suku pertama, kita dapatkanWalaupun jawaban ini kelihatan berlainan dari jawab yang diperolehterdahulu, tetapi keduanya sama. Untuk melihat ini, gantikan dalamungkapan untuk dy/dx yang baru saja diperoleh.Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan sebuah fungsi y = f(x) danfungsi ini terdiferensialkan, maka metode pendiferensialan implisit akanmenghasilkan sebuah ungkapan yang benar untuk dy/dx. Terdapat dua halbesar dalam pernyataan ini.Pertama perhatikan persamaanIa tidak mempunyai penyelesaian, karena itu tidak menentukan suatu fungsi.Sebaliknya,menentukan fungsi-fungsi y = f(x) = , dan fungsi y = g(x) =- . Grafik-grafik tersebut diperlihatkan dalam gambar berikut: 9
• 10. Untungnya, kedua fungsi ini terdiferensialkan pada (-5,5). Pertama perhatikanf, ia memenuhi :x2 + [f (x)]2 = 25Bilamana kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan un f `(x), kitaperoleh:2x + 2f(x) f’(x) = 0f’(x) =perlakuan serupa secara lengkap terhadap g(x) menghasilkan :g’(x) =Untuk keperluan praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini secara serempakdengan pendiferensialan secara implisit dari Ini memberikan 2x + 2y = 0 Secara wajar, hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas. Pehatikan bahwa adalah cukup untuk mengetahui dy/dx = -x/y agar dapat menerapkan hasil-hasil kita. Andaikan kita ingin mengetahui kemiringan garis singgung pada lingkaran bilamana x = 3. Nilai-nilai y yang berpadanan adalah 4 dan -4. Kemiringan di (3,4) dan (3,-4). Masing- masing diperoleh dari pergantian –x/y adalah -3/4 dan 3/4. Kemudian kita tunjukkan bahwa: Menentukan banyak fungsi lainnya. Pandang fungsi h yang didefenisikan oleh: 10
• 11. h(x) =  -5 Ia juga memenuhi , karena .Tetapi ia bahkantidak kontinu di , sehingga tidak saja mempunyai turunan di sana (lihatgambar disamping).Sementara subyek fungsi implisit menuju ke masalah teknis yang sukar(ditangani dalam kalkulus lanjut), masalah-masalah yang kita pelajarimempunyai penyelesaian lansung.Dalam contoh-contoh berikut,kita anggap bahwa persamaan yang diberikanmenentukan satu atau lebih fungsi-fungsi terdiferengsialkan yang turunan-turunannya dapat dicari dengan menerapkan pendiferensialan implisit.ContohCarilah jika ! 11
• 12. Penyelesaian :ContohCarilah jikaPenyelesaian : =ContohCari persamaan garis singgung pada kurva dititik (0,1).Penyelesaian :Untuk menyederhanakan, kita gunakan cara penulisan ’ untuk .Bilamana kita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan hasilnya,kitaperoleh : 12
• 13. Di (0,1), .Sehingga, persamaan garis singgung di (0,1) adalah:Kita telah mempelajari bahwa di mana adalah sembarangbilangan bulat.Sekarang ini kita perluas pada kasus di mana n adalahbilangan rasional sembarang.TEOREMA M :Aturan PangkatAndaikan adalah bilangan rasional sembarang,maka: 13
• 14. BAB III PENUTUPA. Kesimpulan Turunan Parsial Fungsi Implisit F   x dy Turunan fungsi implisit dua variable dx F y Turunan fungsi implisit tiga variable z F ( x, y , z ) z Fy ( x, y, z )  x  x Fz ( x, y, z ) y Fz ( x, y, z ) Turunan fungsi implisit empat variable w F ( x, y, z, w) w Fy ( x, y, z, w) w F ( x, y, z, w)  x   z x Fw ( x, y, z, w) y Fw ( x, y, z, w) z Fw ( x, y, z, w)B. Saran Saran dari kelompok kami buat Dosen, agar kiranya mengajarkan atau menjelaskan kembali dasar – dasar materi yang ada dalam makalah ini, karena masih banyak mahasiswa yang belum memahami dasar – dasar yang mestinya diketahui sebelum mempelajari makalah ini, termasuk kami juga. Sehingga sulit buat mahasiswa yang lain menguasai materi yang ada dalam makalah ini. Saran buat teman – teman mahasiswa, supaya kiranya lebih banyak belajar sendiri mengenai isi makalah ini karena waktu yang kita gunakan tidak akan cukup untuk kita menguasai seluruh isi makalah ini. Dan juga di saat proses perkuliahan berlangsung kiranya teman – teman memperhatikan dengan sungguh –sungguh agar apa yang kita pelajari saat itu bisa kita pahami secara maksimal. 14
• 15. DAFTAR PUSTAKAPrayudi.Kalkulus Lanjut, Edisi Pertama.Penerbit Graha Ilmu.Yogyakarta.2009Purwanto, Heri.Kalkulus 1. Ercontara Rajawali.Jakarta.2005http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial.htmlhttp://www.mascipul.com/2009/11/free-download-materi-kalkulus-materi- matematika.htmlhttp://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus.htmlhttp://www.mediafire.com/?2y5izytydnqhttp://www.mediafire.com/?zzk1qmdwx1y 15