Jumat, 07 Desember 2012

persamaan kuadrat

05.43    No comments

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0                   a, b dan c adalah bilangan real.
  1. 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a)       memfaktorkan,
b)       melengkapkan kuadrat sempurna,
c)       menggunakan rumus.
  1. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab:    x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0
x = 3   atau    x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.
Jawab:         (x – 2)2 = x – 2
x2 – 4 x + 4 =  x – 2
x2 – 5 x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0
x = 3   atau          x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
Contoh 3 :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.
Jawab:    2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0
x = –2   atau           x = – 1
Jadi, penyelesaiannya adalah  –2 dan –1.
  1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab:   x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2  atau x – 3 = –2
x = 5    atau     x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 – 8 x + 7 = 0.
Jawab:   2 x2 – 8 x + 7 = 0
2 x2 – 8 x + 8 – 1 = 0
2 x2 – 8 x + 8 = 1
2 (x2 – 4 x + 4) = 1
2 (x – 2)2 = 1
(x – 2)2 = ½
x – 2 =    atau x – 2 = –
x = 2 + Ö2   atau x = 2 –Ö2
Jadi, penyelesaiannya adalah   2 + Ö2   dan   2 – Ö2.
  1. c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab:   x2 + 7x – 30 = 0
a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30
x = 3   atau   x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

Latihan 1

  1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
  2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!
  3. Salah satu akar x2 – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
  4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x2 + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!
  5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar
  1. x2 – 3x + 2 = 0                                                                     f.   –2x2 + 8x – 9 = 0
  2. 3x2 – 9x = 0                                                                         g.   –6x2 + 10xÖ3 – 9 = 0
  3. 6x2 – 13x + 6 = 0                                                                h.   x2 – 2xÖ3 – 1 = 0
  4. 5p2 + 3p + 2 = 0                                                                  i.   x2 + x – 506 = 0
  5. 9x2 – 3x + 25 = 0                                                                j.   x2 – x + Ö2 = 2
  1. 2x – x(x + 3) = 0                                                              c.   (x – 3)2 + 2(x – 3) – 3 = 0
  2. (x – 3) (x + 2) – 2x2 + 12 = 0                                          d.
berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2. Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!
2.      Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,  b2 – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai  .
Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai  x tergantung dari nilai  D.
Apabila:
  1. D > 0  maka  ÖD  merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .
  2. D = 0  maka  ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.                .
  3. D < 0  maka  ÖD  merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai
akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
  1. x2 + 5 x + 2 = 0
  2. x2 – 10 x + 25 = 0
  3. 3 x2 – 4 x + 2 = 0
Jawab :
  1. x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2
D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.
  1. x2 – 10 x + 25 = 0
a = 1  , b = -10  ,  c = 25
D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena  D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0  mempunyai dua akar real sama.
  1. 3 x2 – 4 x + 2 = 0
a = 3  ,  b = –4  ,  c = 2
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata bahwa  D < 0. Jadi, persamaan  3 x2 – 4 x + 2 = 0  tidak mempunyai akar real.


Latihan 2



  1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:
  1. x2 + 6x + 6 = 0
  2. x2 + 2x + 1 = 0
  3. 2x2 + 5x + 5 = 0
  4. –2x2 – 2x – 1 = 0
  5. 6t2 – 5t + 1 = 0
  6. 4c2 – 4c + 3 = 0
  1. Tentukan nilai  p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!
  1. 4x2 + 8px + 1 = 0
  2. 4x2 – 4px + (4p – 3) = 0
  3. px2 – 3px + (2p + 1) = 0
  1. Persamaan  x2 – 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
  2. Buktikan bahwa persamaan  x2 – px – (p + 1) = 0  mempunyai dua akar real berlainan!
  3. Buktikan bahwa    mempunyai dua akar real berlainan!
3.      Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
  1. Persamaan kuadrat   ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
ax2 + bx + c = 0
x2 + x + = 0
Karena  x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :
Jadi,  ,   .
Contoh:
Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
  1. x1 + x2 d.
  2. x1.x2 e.   x13 + x23
  3. x12 + x22
Jawab:          x2 – 3 x + 4 = 0  ®  a = 1  ,  b = –3  , c = 4
a.   x1 + x2 = 3
b.   x1.x2 = 4
c.   x12 + x22 = x12 + x22 +  2 x1.x2 – 2 x1.x2
= (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23
= x13 + 3 x1 x2 (x1 +  x2) + x23
x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)
= 33 – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9

Latihan 3

  1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:
  2. Akar-akar persamaan x2 + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:
  3. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 – (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.
  4. Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax2 – (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.
  5. Akar-akar persamaan x2 + ax + b = 0 adalah x1 dan x2.
  1. x2 – 5x + 7 = 0                                                                     d.   bx2 + ax + c = 0
  2. 2x2 – 7 = 0                                                                           e.
  3. 4x2 – 3x = 0                                                                         f.   (x – p)2 + (x – q)2 = p2 + q2
  1. p2 + q2
  2. (p + 2) (q + 2)
  3. (p – 2q) (q – 2p)
Tentukan hubungan antara a dan b jika diketahui xi2 – x1x2 + x22 = 5.
4.     Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v  menggunakan perkalian faktor,
v  menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.
  1. a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat   x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika akar-akar
persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab:   (x – x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0.
Contoh 2:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya   dan  !
Jawab:   (x – ) (x – ) = 0
= 0
6 x2 – 2 x – 3 x + 1 = 0
6 x2 – 5 x + 1 = 0
  1. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab:   x1 + x2 = -2 – 3 = – 5
x1 x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0   atau   x2 + 5x + 6 = 0.
  1. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2.  ®  x1 + x2 =  2  ,  x1 x2 = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan  q =  x2 +3
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3)                                 p q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1 + x2 + 6                                                  = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 2 + 6 = 8                                                    = 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)